本稿はPMSM (Permanent Magnet Synchronous Motor) のセンサレス制御にて使用される回転子位相推定について，高周波電圧を重畳印加することで低速回転時の位相推定を行う手法について取り扱います。位相推定手法については，誘起電圧を観測することで位相を推定する方法 (駆動用電圧・電流を利用した方法) と，高周波電圧を強制印加した際の応答電流から回転子位相を推定する方法 (高周波電圧印加法) に大別されます。前者は誘起電圧が小さい低速域では利用できず，後者は零速度から利用可能であるが高周波電流による損失が発生することから，前者の利用不可能領域である零速度から低速域にて利用されます。本稿では後者のうち印加高周波電圧の周波数をPWM搬送波と同程度に設定する搬送高周波電圧印加法と呼ばれる手法を使用し，適用可能な高周波電圧形状の拡張と位相推定手法の一般化について扱います。

搬送高周波電圧印加法では，次に示される楕円形状の電圧をPMSMに印加することを考えます。

上記表現において，$T_{\rm s}$ はサンプリング時間，$V_{\rm h},\ K \in \mathbb{R}$ は印加電圧振幅および楕円形数を表し印加電圧の幾何形状を決定するパラメータ，$\omega_{\rm h},\ \theta_{\rm h, k}\in \mathbb{R},\ N_{\rm h} \in \mathbb{Z}$ は印加電圧の周波数を決定するパラメータを表します。ただし，$K \in [0,\ 1],\ N_{\rm h} \geq 2$ とします。このとき，$\gamma\delta$ 座標系における理想的な電流応答は次のように記述されます[1]。

ここで，$\bm{A}_{\gamma\delta}$ は軸要素振幅成分 $\bm{c}_{\gamma\delta}, \bm{s}_{\gamma\delta}$ から構成される行列，$\theta_{\gamma}$ は $\rm dq$ 座標系と $\gamma\delta$ 座標系の偏角，$\bm{L}_{\rm dq},\ \bm{L}_{\rm im}$はそれぞれ $\rm dq$ 軸インダクタンスおよび正相鏡相インダクタンスとなります。本手法では $\theta_{\gamma}$ の推定のために振幅抽出器および相関信号合成器を用います[2, 3]。

本手法において，$N_{\rm h}=4$ とした場合の $\gamma\delta$ 座標系の電圧入力と電流応答のサンプル値の一例を以下に図示します。高周波電圧入力に対する理想的な電流応答の値は赤点のようになります。しかしながら，実運転に際してはPMSMの非線形性やデジタル処理による遅れなどの外因性作用の影響により，電流応答のサンプル値が緑点のように観測されることが確認されています。

この移動により，検出電流に図中の $\theta_{\rm he}$ に応じた誤差が生じることが問題となります。本稿では $\theta_{\rm he}$ を高周波誤差角と定義します。これに伴って軸要素振幅成分 $\bm{c}_{\gamma\delta},\ \bm{s}_{\gamma\delta}$ も変動し，搬送高周波電圧印加法を用いた位相 $\theta_{\gamma}$ の推定においても $\theta_{\rm he}$ に起因した誤差が発生します。この問題に対し，従来では事前同定によるオフセット除去が行われてきましたが，このオフセットについてダイナミクスが不明瞭であること，この値が楕円形数 $K$ に依存して変化することからロバスト性に欠けるという問題があります[4]。一方で，電流応答の楕円長軸を推定する手法が提案されており，楕円形数 $K=1$ の場合には $\theta_{\rm he}$ に依存しない位相推定を達成しましたが，$K<1$ では位相推定値が位相真値に対して減衰された振幅を持つことが確認されています[5]。これら手法の差異は相関信号合成器の構成に起因します。高周波電圧の楕円形状について，$K$ が小さい場合に位相推定のSN比が向上することが報告されているため，$\theta_{\rm he}$ および $K$ の双方に依存しない位相推定法の確立が求められています[6]。

相関信号合成器にはさまざまな手法が考案されておりますが、$\theta_{\rm he}$ に関する分類をすると次の2種類があります。

前者は振幅推定特性が $K$ に依存しませんが，$\theta_{\rm he}$ の影響を受けます。後者は $\theta_{\rm he}$ の影響を受けませんが，振幅推定特性が $K$ に依存します (付録参照)。簡単のため，後者を鏡相推定法と呼称します。本稿では楕円形数 $K$ および高周波誤差角 $\theta_{\rm he}$ の双方に依存せずに位相 $\theta_{\gamma}$ を推定することを目的として，モータモデルから位相を推定する方法に立脚した手法を提案します。

高周波誤差角 $\theta_{\rm he}$ は一定値もしくは非常に遅い変動を持つことが実験より確認されています。本稿では電流応答の真値と検出値の差異が一定角度の回転作用に起因するものであると見做し，この原因となる高周波誤差角についてオンライン推定を達成することを考えます。簡略化のため，今回は振幅の変動を十分に小さいものとして無視しています。この仮定の下で高周波誤差角の推定値 $\hat{\theta}_{\rm he}$ を求めて軸要素振幅成分の変動を補償し，これを用いて位相推定を行うことで，理想電流応答を利用した推定に近しい推定を達成します。本手法で推定される位相 $\hat{\theta}_{\gamma}$ は $\theta_{\rm he}$ および $K$ の双方に依存しない推定となり，本研究の目標要件と合致します。

高周波誤差角 $\theta_{\rm he}$ を推定するために，$\theta_{\rm he}$ の作用について記述し，このモデルから推定値 $\hat{\theta}_{\rm he}$ を得ることを考えます。高周波電圧入力に対する理想的な電流応答 $(4)$ は高周波誤差角を含まない表現であるため，$\theta_{\rm he}$ による回転作用を含めたモデルを用意します。

この回転作用を含む式は，次のように整理することができます。

したがって，電流応答は観測可能な振幅を $\tilde{\bm{A}}_{\gamma\delta}$ を利用して次のように記述されます。

本手法で仮定する回転モデルを利用した場合，高周波誤差角 $\theta_{\rm he}$ の影響は軸要素振幅成分 $\bm{c}_{\gamma\delta},\ \bm{s}_{\gamma\delta}$ に影響すると見ることができます。ここで，上記の関係から $\theta_{\rm he}$ を求めることを考えます。式を整理し，次のように変換します。

以上より，$\theta_{\rm he}$ について解くことができます。

ここで，$a,\ b$ は $\forall \theta_{\gamma},\ L_{\rm i}>L_{\rm m}$ であれば $\neq 0$ となります。本式に基づき，観測電流振幅 $\tilde{\bm{c}}_{\gamma\delta}, \tilde{\bm{s}}_{\gamma\delta}$ から高周波誤差角の推定値 $\hat{\theta}_{\rm he}$ を得ることができます。また，この高周波誤差角推定値と観測電流振幅を用いて理想電流振幅の推定値 $\hat{\bm{c}}_{\gamma\delta}, \hat{\bm{s}}_{\gamma\delta}$ を得ることができます。

この推定電流振幅を利用して位相推定値 $\hat{\theta}_{\gamma}$ を得ます。提案する位相推定手法を以下に図示します。

ここで，$\hat{\bm{c}}_{\gamma\delta}, \hat{\bm{s}}_{\gamma\delta}$ から $\hat{\theta}_{\gamma}$ を推定する相関信号生成器については従来手法を参考に設計しています[2, 3]。

提案手法の位相推定特性を評価するため，以下のテストベンチを使用して試験を行いました。

本テストベンチは試験的に磁気エンコーダを搭載しており，回転子位相を測定することができます。今回の試験では $\theta_{\gamma}=0\ {\rm rad}$ および $\theta_{\gamma}=\pi/4 \approx 0.785\ {\rm rad}$ となるように $\gamma\delta$ 座標系を設定し，高周波印加電圧を $V_{\rm h}=3,\ N_{\rm h}=4$ と設定した上で$K$ を $0.1\sim 1.0$ の区間で $0.1$ 刻みの値に設定して生成し，位相推定試験を行いました。

比較検証として，3種類の相関信号生成器を持つ推定器を用意しました。

これら3つの手法により生成された $\hat{\theta}_{\gamma}$ を比較します。

はじめに，$\theta_{\gamma}=0\ {\rm rad}$ の試験にて得られた電流応答を示します。

このとき，従来法，提案法，鏡相推定法による位相 $\theta_{\gamma}$ の推定結果は以下のようになりました。従来法では位相推定値に $K$ に依存したオフセットが乗ることが確認できました。一方で，提案手法では $K$ に依存せず $\theta_{\gamma}=0\ {\rm rad}$ に近い値を推定していることが確認できました。鏡相推定法においては $K$ に依存せず $\theta_{\gamma}=0\ {\rm rad}$ に近い値を推定しており，特に $K$ が小さい場合に良好な推定を達成しているように見えますが，これは推定における振幅減衰特性に起因します。これについては次の試験にて確認します。

続いて，$\theta_{\gamma}=\pi/4\ {\rm rad}$ の試験にて得られた電流応答を示します。

このとき，従来法，提案法，鏡相推定法による位相 $\theta_{\gamma}$ の推定結果は以下のようになりました。従来法および鏡相推定法では $K$ が小さくなるにつれて推定値が $\theta_{\gamma}=\pi/4\ {\rm rad}$ から大きく離れることが確認できます。この誤差について，従来法では高周波誤差角の影響，鏡相推定法では振幅減衰特性が原因となります。一方で，提案手法では $K$ が小さくなるにつれて推定値が $\theta_{\gamma}=\pi/4\ {\rm rad}$ から僅かに離れますが，他手法と比較して真値に近い値を推定しています。これは外因性作用が電流応答に与える影響についてモデル化する際に，電流応答の変動を回転のみで表したことに起因すると考えられます。

本稿では搬送高周波電圧印加法を用いた回転子位相推定について，高周波誤差角の推定法および補償法を提案しました。本手法を用いることで扁平率の高い楕円形状電圧を利用した際にも振幅減衰なく回転子位相の推定が達成されます。

今後の課題として，高周波誤差角の観測電流に対する作用モデルの厳密化が必要になると考えられます。本稿では作用モデルとして単純な回転作用を採用しましたが，実際には振幅の変動も併せて確認されています。提案法においても位相 $\theta_{\gamma}$ の推定についてオフセットを持つことが確認されており，高周波誤差角のダイナミクスを考慮した正確な同定を達成するに至っていません。本課題を解決することで，搬送高周波電圧印加法を用いた回転子位相推定についてさらなる推定特性の向上が見込めると考えます。

最後に，本手法を用いて速度制御を実施した結果を紹介します。低速域における電気角推定に提案手法，中速域から高速域にかけての電気角推定に磁束オブザーバを用いた手法を適用しています。低速運転と高速運転，およびその運転の切り替えが良好に行われることが確認できました。今後は突発的な負荷変動に対する耐性などを調査し，より実用的な運転・駆動に向けて研究を進めます。

軸要素振幅成分から構成される信号について，高周波誤差角 $\theta_{\rm he}$ による回転作用の影響を受けない信号について考えます。軸要素振幅成分が高周波誤差角による回転作用を受ける場合，$(22)$ 式のように関係が立式されました。この関係を整理することで，次の等式を得ます。

ここで，回転行列 $\bm{R}(\theta_{\rm he})$ と可換な作用 $(p\bm{I} + q\bm{J}),\ p,\ q\in\mathbb{R}$ を付与した行列を考えます。

以上の式を用いることで，次の等式が導出されます。

両辺は回転に対して不変な関係であるため、それぞれの要素も不変となります。したがって，以下の信号 $i_{\rm k},\ k=1...3$ は高周波誤差角 $\theta_{\rm he}$ に関する不変量となります。

鏡相推定法における相関信号は上記の不変量を用いて生成されるため，高周波誤差角に起因する回転作用に対して不感となります。

また，本稿で提案する手法について観測される軸要素振幅成分 $\tilde{\bm{c}}_{\gamma\delta},\ \tilde{\bm{s}}_{\gamma\delta}$ と位相 $\theta_{\gamma}$ の関係を計算すると次のように求まりました。

したがって，本稿で提案する手法による位相推定も高周波誤差角に起因する回転作用に対して不感となります。提案手法は $K=1$ の場合に鏡相推定法と同等の推定特性を有します。

二次元回転行列 $\bm{R}(\theta)$ と可換な行列 $\bm{C}_{R} \in M(2,\ \mathbb{R})$ について考えます。

この行列が $\bm{R}(\theta)$ と可換である条件は次のように記述されます。

したがって，$\bm{C}_{R}$ は $p,\ q\in\mathbb{R}$ を用いて次のように表されます。