離散化の際にサンプラ・ホールダの影響で発生する不安定な離散化零点の影響により，シングルレート系の枠組みでは完全追従を実現することが難しい。 一方で，入力を多重化したマルチレート系を用いることで，この離散化零点の発生を回避して完全追従が達成されることが報告されている。 また，安定逆系の設計を導入することで不安定な真性零点が存在する場合にも完全追従を実現する。

シングルレート系では離散時間システムに不安定零点が存在する場合に逆系が不安定となることから完全追従をすることは難しく，入出力の位相差または振幅差のどちらか一方を零とする零位相/振幅差追従制御が提案されている。この制御系を拡張する試みは多く報告されているが，原理的に伝達関数が $1$ になることはなく，完全追従は達成されない。

非因果的情報を利用すれば安定逆系の設計が可能となり，多くの不安定な真性零点に対して設計可能だが，零次ホールドに起因する不安定な離散化零点に対しては常に設計可能とはならない。安定逆系は零点が $z$ 平面単位円上に存在する場合には設計できない，もしくは $z$ 平面単位円外かつ単位円近傍に存在する場合には長時間のプリアクチュエーションが要求される等の制約があるが，離散化零点については文献[1]にて「相対次数が2以上のシステムでは極限零点が $z=-1$ に漸近する」ことが示されている。文献[2]では真性零点を持たないサンプル値制御系において離散化零点に対する安定逆系を設計することでサンプル点追従を実現しているが，上記の制約やプリアクチュエーションの打ち切り誤差等を考慮すれば，離散化零点の影響を回避する方法を別途採用することが望ましい。

入力を多重化することで，非因果的情報やプリアクチュエーションを利用せずに離散化零点の影響を回避する方法が藤本氏らによって提案され，完全追従制御 (Perfect tracking control: PTC) として確立されている[3, 4]。以下では単入出力の連続時間最小位相システムを考える。

ただし，$u\in\mathbb{R},\ \bm{x}\in\mathbb{R}^{\rm n},\ y\in\mathbb{R}$ は入力，状態，出力を表し，$\bm{A}\in\mathbb{R}^{{\rm n}\times{\rm n}},\ \bm{B}\in\mathbb{R}^{{\rm n} \times 1},\ \bm{C}\in\mathbb{R}^{1 \times {\rm n}}$ はシステム行列，入力行列，観測行列とする。同値なシステムの状態空間表現は無数に存在するが，連続時間システムの真性零点と状態空間表現を対応づけるために，可制御正準形で表現されているものとする。すなわち，伝達関数表現 $G(s)$ が与えられた際に，状態遷移方程式を分母多項式の表現に，観測方程式を分子多項式の表現に利用する。

状態ベクトル $\bm{x}$ の各要素は，基本信号 $z$ とその時間微分を上添字で次数を示す形で表記し，具体的には $x_1 = z$, $x_2 = z^{(1)} = \dot{z}$, $x_3 = z^{(2)} = \ddot{z}$, $\dots$, $x_{\rm n} = z^{({\rm n}-1)}$ とする。ここで，離散化零点と真性零点の影響を分離して議論するために，上記の表現から真性零点の影響を除去するように整理する。参照軌道 $y_{\rm d}(t)$ が与えられた場合に状態量が取るべき値を $\bm{x}_{\rm d}(t)$ とすれば，次のように表される。

ただし，$^{\forall {\rm k} \in [0, {\rm n}-1]\ } y^{({\rm k})}_{\rm d}(0)=0, \ y^{({\rm k})}_{\rm d}(t)\in L_{1} \cap L_{\infty},\ Y_{\rm d}(s)=\mathcal{L}[y_{\rm d}(t)](s),\ g_{N}(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[N^{-1}(s) \right](t)$とする。このとき，解くべき逆問題は次のように簡約される。

ただし，$u_{\rm d}(t)$ は $x_{\rm d}(t),\ y_{\rm d}(t)$ を実現する入力とする。上記の状態遷移方程式を周期 $h$ のサンプラの零次ホールダの挿入を仮定して離散化をすれば，以下の離散時間モデルを得る。

添字 $_{h}$ は周期 $h$ でステップ不変離散化した際のパラメータであることを示す。ここで，入力 $u_{\rm d}(t)$ を求める逆問題は次のように記述される。

この線形連立方程式は優決定系のため，全ての状態変数 $x_{\rm k}\ ({\rm k}\in[1, {\rm n}])$ を同時に所望の軌道に乗せる $u_{\rm d}[k]$ を見つけることはできない。伝達関数表現では不安定な離散化零点の影響で逆問題を解くことができなかったが，状態空間表現では内部変数による拘束条件を満たす解が存在しないという形式で現れている。追従問題における離散化零点の問題を「逆問題の実行不可能性」と見れば，入力の多重化によって逆問題を解くことができれば，それは追従問題における離散化零点の問題を回避したと言える。

前述のシステムにおいて，状態量を1回観測する間に入力を $\rm n$ 回切り替え可能とする。また，連続時間システムを周期 $h/{\rm n}$ のサンプラを用いて離散化したモデルを以下記述する。

ここで，離散信号に対するインデックス $[p|q]$ は時刻 $t = (q + p / {\rm n})h$ のマイナーサンプル値であることを示し，$x[{\rm k}]=x[0|{\rm k}],\ x[{\rm k}+1]=x[{\rm n}|{\rm k}]$ となる。このシステムの時間発展を計算すると，次のようになる。

上記のような入力を多重化して状態空間表現を再構築する手法はリフティング[5]と呼ばれ，下添字 $_{\rm l}$ はリフトモデルであることを示す。ここで，$u_{\rm d}[{\rm k}]$ をリフティングしたベクトルを $\bm{u}_{\rm l, d}$ と表現すれば，解くべき逆問題は以下のように記述される。

ここで，$\bm{B}_{\rm l}$ は可制御行列の列を入れ替えた行列であるため，システムが可制御であれば正則となる。すなわち，逆問題を記述する線形連立方程式はシングルレート系では優決定系であったが，マルチレート系では決定系となり，その解は次のようになる。

ここで特筆すべきことは，シングルレート系で取り扱いが非常に難しい離散化零点の影響について，何等考慮することなく逆問題の解が得られている点である。 すなわち，マルチレート系では離散化零点の影響を回避して完全追従を達成することができる。

完全追従制御が提案された当初は最小位相系のみを制御対象としていたが，両側ラプラス変換を用いた安定逆系を導入することで $s$ 平面虚軸上に真性零点を持たない非最小位相系に対しても完全追従制御法が適用可能となることが大西氏らによって報告されている[6, 7]。文献中では本技術をPreactuation Perfect Tracking Controlと呼称しており，入力多重化とプリアクチュエーションによって離散化零点と不安定真性零点の双方の問題を解決している。

具体的な実装としては，可制御正準系の形式で記述される状態空間表現に対して，参照軌道 $y_{\rm d}[{\rm k}]$ から 内部状態量の参照値 $\bm{x}_{\rm d}[{\rm k}]$ を求める計算に両側ラプラス変換を使用し，$y_{\rm d}[{\rm k}]$ および $x_{\rm d}[{\rm k}]$ を実現する入力を決定する逆問題では従来の入力多重化とリフティングを使用している。そのため，従来の最小位相系を対象とした完全追従制御と大幅な枠組みの変更はなく，$\bm{x}_{\rm d}[{\rm k}]$ を求める方法を従来の片側ラプラス変換から両側ラプラス変換に変更するのみで移行できる。