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零次ホールドの伝達特性

離散信号を連続時間システムに入力する場合，その信号は一定周期毎にサンプル/ホールドされて入力される。 すなわち，離散信号はサンプル点間を補完されて連続時間信号となり，その信号の周波数特性は所望のものとはならない。 ここでは零次ホールドを例として，その周波数特性について述べる。

問題定義

離散信号は連続時間信号 u(t)u(t) を参照して生成されるものとし，そのサンプル値を u[k]u[k] と表す。システムに入力される信号は u[k]u[k] を零次ホールダに通した出力であり，その信号を uzoh(t)u_{\rm zoh}(t) とする。また，u(t),uzoh(t)u(t), u_{\rm zoh}(t) のラプラス変換を次のように記述する。
U(s)=L[u(t)]Uzoh(s)=L[uzoh(t)]\begin{align} U(s) &= \mathcal{L}[u(t)]\\ U_{\rm zoh}(s) &= \mathcal{L}[u_{\rm zoh}(t)] \end{align}
ここでは上記のラプラス変換の関係を示し，零時ホールダによる周波数特性の変化について述べる。

零次ホールダ出力の周波数特性

サンプラの周期を hh とした時，零次ホールダの出力は次のように表現される。
uzoh(t)=∑n=0∞un(t)un(t)≡u(nh)(σ(t−nh)−σ(t−(n+1)h))σ(t)≡{1 (t≥0)0 (t<0)\begin{align} u_{\rm zoh}(t) &= \sum^{\infty}_{{\rm n}=0}u_{\rm n}(t)\\ u_{\rm n}(t) &\equiv u({\rm n}h)\left(\sigma(t - {\rm n}h) - \sigma(t - ({\rm n} + 1)h)\right)\\ \sigma(t)&\equiv\left\{\begin{matrix} 1\ (t\geq0) \\ 0\ (t<0)\end{matrix} \right. \end{align}
この信号をラプラス変換すると，以下の表現を得る。
Uzoh(s)=∫0∞uzoh(t)e−stdt=∑n=0∞∫nh(n+1)hu(nh)e−stdt=∑n=0∞u(nh)1−e−shse−snh=1−e−shs∑n=0∞u(nh)e−snh=1−e−shs∫0∞u(t)δh(t)e−stdt\begin{align} U_{\rm zoh}(s) &= \int^{\infty}_{0} u_{\rm zoh}(t)e^{-st}dt\\ &= \sum^{\infty}_{{\rm n}=0} \int^{({\rm n}+1)h}_{{\rm n}h} u({\rm n}h)e^{-st}dt\\ &= \sum^{\infty}_{{\rm n}=0} u({\rm n}h) \frac{1-e^{-sh}}{s}e^{-s{\rm n}h}\\ &= \frac{1-e^{-sh}}{s} \sum^{\infty}_{{\rm n}=0} u({\rm n}h)e^{-s{\rm n}h}\\ &= \frac{1-e^{-sh}}{s} \int^{\infty}_{0} u(t)\delta_{h}(t)e^{-st}dt \end{align}
ただし，δh\delta_{h} は周期的デルタ関数を表す。
δh(t)=∑n=−∞∞δ(t−nh)\begin{align} \delta_{h}(t) = \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}\delta(t - {\rm n}h) \end{align}
これは周期 hh の周期関数であるため，フーリエ級数展開すれば次のように表現できる。
δh(t)=∑n=−∞∞Cnejn2πhtCn=1h∫−h2h2δh(t)e−jn2πhtdt=1h∴δh(t)=1h∑n=−∞∞ejnωstωs≡2πh\begin{align} \delta_{h}(t) &= \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}C_{\rm n}e^{j{\rm n}\frac{2\pi}{h}t}\\ C_{\rm n}&=\frac{1}{h}\int^{\frac{h}{2}}_{-\frac{h}{2}} \delta_{\rm h}(t) e^{-j{\rm n}\frac{2\pi}{h}t} dt = \frac{1}{h}\\ \therefore \delta_{h}(t) &= \frac{1}{h} \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}e^{j{\rm n}\omega_{\rm s}t}\\ \omega_{\rm s} &\equiv \frac{2\pi}{h} \end{align}
したがって，UzohU_{\rm zoh} を次のように整理することができる。
Uzoh(s)=1−e−shsh∫0∞u(t)(∑n=−∞∞ejnωst)e−stdt=1−e−shsh∑n=−∞∞∫0∞u(t)e−j(ω−nωs)tdt (∵ Fubini′s theorem)=1−e−shsh∑n=−∞∞U(s−jnωs)=1−e−shsh{U(s)+∑n=1∞[U(s−jnωs)+U(s+jnωs)]}\begin{align} U_{\rm zoh}(s) &= \frac{1-e^{-sh}}{sh} \int^{\infty}_{0} u(t) \left(\sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}e^{j{\rm n}\omega_{\rm s}t}\right)e^{-st}dt\\ &= \frac{1-e^{-sh}}{sh} \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty} \int^{\infty}_{0} u(t) e^{-j\left(\omega - {\rm n}\omega_{\rm s}\right)t}dt\ (\because\ {\rm Fubini's\ theorem})\\ &= \frac{1-e^{-sh}}{sh} \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty} U\left(s-j{\rm n}\omega_{\rm s}\right) \\ &= \frac{1-e^{-sh}}{sh} \left\{ U(s) + \sum^{\infty}_{{\rm n}=1} \left[U\left(s-j{\rm n}\omega_{\rm s}\right) + U\left(s+j{\rm n}\omega_{\rm s}\right)\right] \right\} \end{align}
入力の周波数成分と異なる周波数成分が出力に現れていることから，このシステムが非線形であることが確認できる。 零次ホールダは非線形系のため厳密に伝達関数を定義できないが，ここでは近似的な伝達関数として以下を定める。
U~zoh(s)≡1−e−shshU(s)G(s)≡U~zoh(s)U−1(s)=1−e−shsh\begin{align} \tilde{U}_{\rm zoh}(s) &\equiv \frac{1-e^{-sh}}{sh} U(s)\\ G(s) &\equiv \tilde{U}_{\rm zoh}(s)U^{-1}(s) = \frac{1-e^{-sh}}{sh} \end{align}
ここで，周波数伝達関数について確認する。
G(jω)≡1−e−jωhjωh=1jωhejωh2−e−jωh2ejωh2=sin⁡(ωh2)ωh2⋅e−jωh2=sinc(ωh2)⋅e−jωh2\begin{align} G(j\omega) &\equiv \frac{1-e^{-j\omega h}}{j\omega h}\\ &= \frac{1}{j\omega h}\frac{e^{\frac{j\omega h}{2}} - e^{-\frac{j\omega h}{2}}}{e^{\frac{j\omega h}{2}}} \\ &=\frac{\sin\left(\frac{\omega h}{2}\right)}{\frac{\omega h}{2}} \cdot e^{-j\frac{\omega h}{2}}\\ &={\rm sinc}\left(\frac{\omega h}{2}\right) \cdot e^{-j\frac{\omega h}{2}} \end{align}
サンプリング周波数 ωh=2πh−1\omega_{h}=2\pi h^{-1}を導入すれば，次の結果を得る。
G(jω)=sinc(ωωhπ)⋅e−jωh2∣G(jω)∣=sinc(ωωhπ)∠G(jω)=−h2ω=−ωωhπ\begin{align} G(j\omega) &= {\rm sinc}\left(\frac{\omega}{\omega_{h}}\pi\right) \cdot e^{-j\frac{\omega h}{2}}\\ \left|G(j\omega)\right| &= {\rm sinc}\left(\frac{\omega}{\omega_{h}}\pi\right) \\ \angle G(j\omega) &= -\frac{h}{2}\omega = -\frac{\omega}{\omega_{h}}\pi \end{align}
振幅特性はsinc関数による振幅減衰によって定められ，これはアパーチャ効果と呼ばれる。位相特性は時間遅れ −h/2-h/2 による位相遅れによって記述されており，これは参照信号 u(t)u(t) と零時ホールダの出力 uzohu_{\rm zoh} の位相差がサンプル周期の半分の時間遅れで与えられることを示している。

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