標本化定理 | DigitalServo

標本化定理

標本化定理は連続信号を定周期サンプラを用いて離散信号とする場合に，どの程度の周波数で標本化すれば元の連続信号を再構成可能かを示す定理である。これについて，以下では内挿定理などを用いて再構成可能条件から確認する。

定理の主張内容

標本化定理は，離散信号から元の連続信号を完全に再構成されるためには，元信号に含まれる最大周波数の2倍以上のサンプリング周波数で標本化すれば良いことを示す定理であり，1949年にShannonによって定式化された[1]。この周波数の目安に関してはNyquistが主張しており，再構成可能な信号の周波数上限はナイキスト周波数と呼ばれる[2, 3]。

\begin{align*} f_{\rm N} &= \frac{1}{2}f_{\rm s}\\ f_{\rm N}&:\ {\rm Nyquist\ frequency}\\ f_{\rm s}&:\ {\rm Sampling\ frequency} \end{align*}

文献[1]においては後述する内挿定理を用いて再構成可能条件を述べているが，この定式化以前にも内挿定理の発見や定理の証明がなされている[4-6]。そのため定理名に様々な貢献者の名前が付帯する場合があるが，ここでは総称して標本化定理と呼ぶ。

Whittaker-Shannonの内挿定理

連続信号

x(t)

について，周期

h

のサンプラによって標本化したサンプル値を

x_{\rm s}[{\rm k}]=x({\rm k}h)

とする。ここで，

x(t)

の持つ周波数の最大値がナイキスト周波数以下であるとき，元信号はサンプル値から次にように再構成することができる。

\begin{align} x(t) &= \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}x[{\rm n}]{\rm sinc}\left(\frac{t-{\rm n}h}{h}\right) \end{align}

ただし，上記のsinc関数は正規化sinc関数とする。

内挿定理の定式化時点ではサンプリング理論は提唱されていないが，以下ではサンプリング理論の枠組みから内挿定理を確認する。サンプル値の解析的表現を

x_{\rm s}(t)

として，以下のように記述する。

\begin{align} x_{\rm s}(t) &= x(t)\delta_{h}(t)\\ \end{align}

ただし，

\delta_{h}

は周期的デルタ関数を表す。

\begin{align} \delta_{h}(t) &= \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}\delta(t - {\rm n}h) \end{align}

ここで，

x_{\rm s}(t)

をフーリエ変換した信号

X_{\rm s}(\omega)

について考える。

\begin{align} X_{\rm s}(\omega) &= \mathcal{F}[x_{\rm s}(t)] = \mathcal{F}[x(t)\cdot\delta_{\rm h}(t)] \\ &= \frac{1}{2\pi} \mathcal{F}[x(t)] \ast \mathcal{F}[\delta_{h}(t)] \\ &= \frac{1}{2\pi} X(\omega) \ast \mathcal{F}[\delta_{h}(t)] \end{align}

上式に含まれる周期的デルタ関数について，フーリエ級数展開を介してフーリエ変換すれば，次の結果を得る。

\begin{align} \delta_{h}(t) &= \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}C_{\rm n}e^{j{\rm n}\frac{2\pi}{h}t}\\ C_{\rm n}&=\frac{1}{h}\int^{\frac{h}{2}}_{-\frac{h}{2}} \delta_{\rm h}(t) e^{-j{\rm n}\frac{2\pi}{h}t} dt = \frac{1}{h}\\ \therefore \delta_{h}(t) &= \frac{1}{h} \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}e^{j{\rm n}\omega_{h}t},\ \omega_{h} \equiv \frac{2\pi}{h}\\ \mathcal{F}[\delta_{h}(t)] &= \mathcal{F}\left[\frac{1}{h}\sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}e^{j{\rm n}\omega_{h}t}\right]\\ &= \frac{1}{h}\sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}\mathcal{F}\left[e^{j{\rm n}\omega_{h}t}\right]\\ &= \frac{2\pi}{h}\sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}\delta(\omega - {\rm n}\omega_{h})\\ &\left(\because\mathcal{F}^{-1}\left[2\pi\delta(\omega-{\rm n}\omega_{h})\right] = \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}2\pi\delta(\omega-{\rm n}\omega_{h})e^{j\omega t}d\omega = e^{j{\rm n}\omega_{h}t} \right) \end{align}

ここで，

\omega_{h}

はサンプリング角周波数を表す。したがって，

X_{\rm s}(\omega)

は次のように記述される。

\begin{align} X_{\rm s}(\omega) &= \frac{1}{2\pi} X(\omega) \ast \frac{2\pi}{h}\sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}\delta(\omega - {\rm n}\omega_{h}) \\ &= \frac{1}{h} \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty} X(\omega) \ast \delta(\omega - {\rm n}\omega_{h}) \\ &= \frac{1}{h} \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}X(\omega - {\rm n}\omega_{h}) \end{align}

上式に現れる係数

h^{-1}

は単位時間あたりの離散時間データのサンプル数に起因する正規化用スケールファクタであり，連続時間信号の再構成時には取り除かれる。ここで，

x_{\rm s}

の周波数帯域をナイキスト角周波数

\omega_{\rm N}=\omega_{h}/2

以下に制限する理想ローパスフィルタ

H(\omega)

を導入する。

\begin{align} H(\omega) &= \left\{ \begin{matrix} h,\ |\omega| \leq \omega_{\rm N} \\ 0,\ |\omega| > \omega_{\rm N} \end{matrix}\right. \end{align}

このフィルタは離散時間信号を連続信号として再構成するための役割も持つため，通過帯域内のゲインとしてスケールファクタを持っている。再構成信号を

x_{\rm r}(t)

とすると，そのフーリエ変換

X_{\rm r}(\omega)

は次のように記述される。

\begin{align} X_{\rm r}(\omega) &= X_{\rm s}(\omega) \cdot H(\omega) = X(\omega) \end{align}

すなわち，元信号がナイキスト周波数以下の信号のみを有する場合に限って元信号と再構成信号のスペクトルが一致し，再構成可能となる。

また，再構成信号

x_{\rm r}(t)

は理想フィルタ

H(\omega)

のインパルス応答

h(t)

を用いて次のように記述される。

\begin{align} x_{\rm r}(t) &= x_{\rm s}(t) \ast h(t)\\ h(t) &= \mathcal{F}[H(\omega)] \end{align}

このインパルス応答は次のように求めることができる。

\begin{align} h(t) &= \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty} H(\omega)e^{j\omega t} d\omega = \frac{1}{2\pi}\int^{\omega_{\rm N}}_{-\omega_{\rm N}} he^{j\omega t} d\omega \\ &= \frac{h}{2\pi}\left[\frac{e^{j\omega t}}{jt}\right]^{\omega_{\rm N}}_{-\omega_{\rm N}}= \frac{h}{\pi t}\frac{e^{j\omega_{\rm N}t} - e^{j\omega_{\rm N}t}}{2j} \\ &= \frac{\sin\left(\omega_{\rm N}t\right)}{\omega_{\rm N}t} = \frac{\sin\left(\frac{\pi t}{h}\right)}{\frac{\pi t}{h}} = {\rm sinc}\left(\frac{t}{h}\right) \end{align}

したがって，畳み込み計算を行うことで再構成信号

x_{\rm r}(t)

を計算することができる。

\begin{align} x_{\rm r}(t) &= \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}x(n{\rm h})\delta(t - {\rm n}h) \ast {\rm sinc}\left(\frac{t}{h}\right) \\ &= \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}x({\rm n}h) {\rm sinc}\left(\frac{t - {\rm n}h}{h}\right) \\ &= \sum^{\infty}_{{\rm n}=-\infty}x[{\rm n}] {\rm sinc}\left(\frac{t - {\rm n}h}{h}\right) \end{align}

これは定理の内容に一致する。

参考文献

[1]C.E. Shannon, "Communication in the Presence of Noise," in Proceedings of the IRE, vol. 37, no. 1, pp. 10-21, 1949.

[2]H. Nyquist, "Certain factors affecting telegraph speed," in Bell System Technical Journal, vol. 3, no. 2, pp. 324-346, 1924.

[3]H. Nyquist, "CertainTopics in Telegraph TransmissionTheory," in Transactions on American Institute of Electrical Engineers, vol. 47, no. 2, pp. 617-644, 1928.

[4]E. T. Whittaker, "On the Functions which are Represented by the Expansions of the Interpolation Theory," in Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, vol. 35, pp. 181-194, Jul. 1915.

[5]K. Ogura, "On a Certain Transcendental Integral Function In the Theory of Interpolation," in The Tohoku Mathematical Journal, vol. 17, pp. 64-72, Jan. 1920.

[6]V A Kotelnikov, "On the Transmission Capacity of the “Ether” and Wire in Electrocommunications," in Physics-Uspekhi, vol. 49, no. 7, pp. 181-194, 1933.

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定理の主張内容

Whittaker-Shannonの内挿定理